如图.坐标系xOy中.直线$\frac{4}{3}x+8$与x轴交于点A.与y轴交于点B.直线AC平分∠BAO.交y轴于点C.交过点B且平行于x轴的直线于点D．(1)求直线AC的解析式,(2)动点P从点A出发.沿折线ABD以每秒2个单位长的速度向终点D匀速运动.连结PC.设△PBC的面积为S.动点P运动的时间为t.求S与t之间的函数关系式.并写出自变量t的取值范围,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，坐标系xOy中，直线$\frac{4}{3}x+8$与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AC平分∠BAO，交y轴于点C，交过点B且平行于x轴的直线于点D．
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿折线ABD以每秒2个单位长的速度向终点D匀速运动（点P不与点B重合），连结PC，设△PBC的面积为S（平方单位），动点P运动的时间为t（单位：秒），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以C点为圆心，以1.8个单位长为半径作⊙C，作直线OP，问t为何值时，直线OP与⊙C相切？并求此时直线OP与直线AD所夹锐角的正切值．

分析（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，先求得A，B两点的坐标，然后再求得AB的长，根据角平分线的性质可知：CE=OC，然后由S_△ABO=S_△ABC+S_△AOC可求得OC的长，然后利用待定系数法可求得AC的解析式；
（2）如图2所示；过点P作PE⊥OB，垂足为E．由PE∥OA可知$\frac{PE}{AO}=\frac{PB}{AB}$，从而得到PE=6-$\frac{6}{5}t$，然后利用三角形的面积公式求解即可；如图3所示，当点P位于BD上时，PB=2t-10，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接CE．由OP与圆C相切，可求得tan∠ECO=$\frac{4}{3}$，从而求得直线OP的解析式为y=$-\frac{4}{3}x$，然后可解得点P的坐标为（-3，4）；点F的坐标为（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$），由两点间的距离公式求得CF的长，接下来根据勾股定理求得EF的长，最后根据锐角三角函数的定义即可求得答案．

解答解：（1）如图1所示：过点C作CE⊥AB，垂足为E．

令y=0得；$\frac{4}{3}x+8$=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
令x=0得；y=8，
∴点B的坐标为（0，8）．
在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$．
∵AC平分∠BAO，OC⊥AO，CE⊥AB，
∴CE=OC．
∵S_△ABO=S_△ABC+S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}AO•OB=\frac{1}{2}AB•CE+\frac{1}{2}AO•OC$．
∴$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×EC+\frac{1}{2}×6×OC$．
∴24=5EC+3OC．
∴OC=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}x+3$．
（2）如图2所示；过点P作PE⊥OB，垂足为E．

∵AO⊥OB，PE⊥OB，
∴PE∥OA．
∴$\frac{PE}{AO}=\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PE}{6}=\frac{10-2t}{10}$．
∴PE=6-$\frac{6}{5}t$，
∴△BCP的面积=$\frac{1}{2}BC•PE$=$\frac{1}{2}×（8-3）×（6-\frac{6}{5}t）$=15-3t（0≤t＜5）．
如图3所示，当点P位于BD上时，．

将y=8代入y=$\frac{1}{2}x+3$得；$\frac{1}{2}x+3=8$，
解得：x=10．
PB=2t-10．
∴△PBC的面积=$\frac{1}{2}BC•BP$=$\frac{1}{2}×5×（2t-10）$=5t-25（5＜t≤10）．
综上所述，s与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{15-3t（0≤t＜5）}\\{5t-25（5＜t≤10）}\end{array}\right.$．
（3）如图4所示，连接CE．

∵OP与圆C相切，切点为C，
∴CE⊥OP．
∴cos∠ECO=$\frac{3}{5}$．
∴tan∠ECO=$\frac{4}{3}$．
∴直线OP的解析式为y=$-\frac{4}{3}x$．
将y=$-\frac{4}{3}x$与y=$\frac{4}{3}x+8$联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{4}{3}x+8}\end{array}\right.$，
解得；$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-3，4）．
由两点间的距离公式得：AP=$\sqrt{[-6-（-3）]^{2}+（4-0）^{2}}$=5．
∴2t=5．
∴t=2.5．
将y=$\frac{1}{2}x+3$与y=$-\frac{4}{3}x$联立得；$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{18}{11}}\\{y=\frac{24}{11}}\end{array}\right.$．
∴点F的坐标为（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$）．
由两点间的距离公式得；CF=$\sqrt{（\frac{18}{11}）^{2}+（3-\frac{24}{11}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{11}$．
在Rt△ECF中，EF=$\sqrt{F{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\frac{18}{55}$．
∴tan∠CFE=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{11}{2}$．
如图5所示：连接CE．

∵OP是圆C的切线，
∴CE⊥OP．
∵OC=3，OE=1.8．
由勾股定理得：OE=2.4．
∴tan$∠OCE=\frac{4}{3}$．
∴直线OP的解析式为y=$\frac{4}{3}x$．
令y=8得：$\frac{4}{3}x=8$，解得：x=6．
∴点P的坐标为（6，8）．
∴2t=10+6．
解得t=8．
将y=$\frac{1}{2}x+3$与y=$\frac{4}{3}x$联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$
∴点F的坐标为（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）．
由两点间的距离公式得：CF²=$（\frac{18}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}-3）^{2}$=$\frac{81}{5}$．
在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{81}{5}-（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$．
tan∠CFE=$\frac{EC}{EF}$=$\frac{1}{2}$．