Question

12．如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴相交于A、B两点，已知点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点C（6，0）是线段OA上一丁点，点P（x，y）是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中△POC的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）中，是否存在点P，使△POC的面积为$\frac{45}{4}$个平方单位？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为：y=kx+b，把A（8，0），B（0，6）代入，得出方程组，解方程组求出k、b的值即可得出直线l的解析式；
（2）由三角形的面积公式得出△POC的面积=$\frac{1}{2}$×6•y=-$\frac{9}{4}$x+18，由P为第一象限内直线l上一动点，得出0＜x＜8，；
（3）根据题意得出-$\frac{9}{4}$x+18=$\frac{45}{4}$，得出x的值，代入y=-$\frac{3}{4}$x+6，求出y的值，即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=6，
∴直线l的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）根据题意得：△POC的面积=$\frac{1}{2}$×6•y=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{3}{4}$x+6）=-$\frac{9}{4}$x+18，
∵P（x，y）是第一象限内直线l上一动点，
∴0＜x＜8，
∴S=-$\frac{9}{4}$x+18（0＜x＜8）；
（3）存在，点P坐标为（3，$\frac{15}{4}$）；理由如下：
当S=$\frac{45}{4}$时，-$\frac{9}{4}$x+18=$\frac{45}{4}$，
解得：x=3，
把x=3代入y=-$\frac{3}{4}$x+6，
解得：y=$\frac{15}{4}$，
∴点P的坐标为：（3，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积的计算、图形与坐标特征、一次函数的运用等知识；本题综合性强，有一定难度；用待定系数法确定一次函数解析式是解决问题的关键．