Question

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点M（2，-3）、N（6，-3），连接MN，如果点P在直线y=-x+1上，且点P到直线MN的距离不小于1，那么称点P是线段MN的“疏远点”．
（1）判断点A（2，-1）是否是线段MN的“疏远点”，并说明理由；
（2）若点P（a，b）是线段MN的“疏远点”，求a的取值范围；
（3）在（2）的前提下，用含a的代数式表示△MNP的面积S_△MNP，并求S_△MNP的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A到MN的距离，再判断即可；
（2）根据“疏远点”的意义求出b的范围，再代入求出a的范围即可；
（3）根据“疏远点”的意义得出S_△MNP=$\frac{1}{2}$×4×|-a-（-3）|，再去掉绝对值符号即可．

解答 解：（1）点A（2，-1）是线段MN的“疏远点”，并说明理由
理由是：∵M（2，-3）、N（6，-3），A（2，-1），
∴A到直线MN的距离为-1-（-3）=2＞1，
∵点P到直线MN的距离不小于1，那么称点P是线段MN的“疏远点”，
∴点A（2，-1）是线段MN的“疏远点”；

（2）∵点P（a，b）是线段MN的“疏远点”，M（2，-3）、N（6，-3），
∴|b-（-3）|≥1，
∴b≥-1或b≤-4，
代入y=-x+1得：-a+1≥-1或-a+1≤-4，
解得：a≤2或a≥3，
即a的取值范围是a≤2或a≥3；

（3）∵M（2，-3）、N（6，-3），
∴MN=6-2=4，
∴S_△MNP=$\frac{1}{2}$×4×|-a-（-3）|
=$\left\{\begin{array}{l}{8-2a（a≤2）}\\{2a-8（a≥3）}\end{array}\right.$
S_△MNP的最小值是$\frac{1}{2}×4×1$=2．

点评 本题考查了一次函数图象上点的特征，一次函数的性质等知识点，能根据“疏远点”的意义列出算式是解此题的关键．