Question

14．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2与x轴交于A、B两点，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一个动点，当∠APB为钝角时，则m的取值范围（　　）

• A． -1＜m＜0
• B． -1＜m＜0或3＜m＜4
• C． 0＜m＜3或m＞4
• D． m＜-1或0＜m＜3

Answer 1

分析 根据解析式求得点A、B的坐标，以AB为直径作圆M，与y轴交于点P，因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙M的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围．

解答 解：令y=0得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x=-1或x=4，
则点A（-1，0）、B（4，0），
以AB为直径作圆M，与y轴交于点P．则抛物线在圆内的部分如图所示，能使∠APB为钝角，

∴M（$\frac{3}{2}$，0），⊙M的半径=$\frac{5}{2}$．
在Rt△OMP中，∴OP=$\sqrt{P{M}^{2}-O{M}^{2}}$=2．
∴P（0，-2），
由抛物线的对称性可知，P′（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角，
故选：B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点与圆周角定理，注意数形结合利用圆周角定理得出P点坐标是解题关键．