如图(1).抛物线W1:y=-x2+4x与x轴的正半轴交于点B.顶点为A.抛物线W2与W1关于x轴对称.顶点为D．(1)求抛物线W2的解析式,(2)将抛物线W2向右平移m个单位.点D的对应点为D′.点B的对应点为B′.则当m为何值时.四边形AOD′B′为矩形?请直接写出m的值．的条件下.将△AOD′沿x轴的正方向向右平移n个单位.得到△A′O′D′′.AD′分别与O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图（1），抛物线W₁：y=-x²+4x与x轴的正半轴交于点B，顶点为A，抛物线W₂与W₁关于x轴对称，顶点为D．
（1）求抛物线W₂的解析式；
（2）将抛物线W₂向右平移m个单位，点D的对应点为D′，点B的对应点为B′，则当m为何值时，四边形AOD′B′为矩形？请直接写出m的值．
（3）在（2）的条件下，将△AOD′沿x轴的正方向向右平移n个单位（0＜n＜5），得到△A′O′D′′，AD′分别与O′A′、O′D′′交于点M、点P，A′D′′分别与AB′、B′D′交于点N、点Q．
①求当n为何值时，四边形MNQP为菱形？
②若四边形MNQP的面积为S，求S关于n的函数关系式；并求当n为何值时，S的值最大？最大值为多少？

分析（1）把二次函数的解析式化为顶点式即可得到点A坐标为（2，4），由抛物线W₂与W₁关于x轴对称，得到点D坐标为（2，-4），于是得到抛物线W₂的解析式；（2）根据点A坐标为（2，4），得到直线OA=2x，求得直线OD′的解析式为y=-$\frac{4}{2+m}$x，由于AO⊥OD′，得到2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，于是得到结论；
（3）①当y=0时，解方程得到x₁=0，x₂=4．得到点B坐标为（4，0），得到OB′=10；设矩形AOD′B′的对角线AD′与OB′交于点E，A′D′′与x轴交于点F．根据矩形的性质AE=OE=B′E=D′E=5，根据平行线的性质得到∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，推出四边形MEFN，EPQF为平行四边形．四边形MNQP为平行四边形，根据菱形的性质即可得到结论；
②过M作MH⊥x轴，垂足为H，过A作AG⊥x轴，垂足为G，根据相似三角形的判定和性质得到MH=$\frac{4}{5}$（5-n），根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答解：（1）由y=-x²+4x=-（x-2）²+4得，点A坐标为（2，4），
∵抛物线W₂与W₁关于x轴对称，
∴点D坐标为（2，-4），
∴抛物线W₂的解析式为y=（x-2）²-4，即y=x²-4x，

（2）∵点A坐标为（2，4），
∴直线OA=2x，
∵点D坐标为（2，-4），
∴D′（2+m，-4），
∴直线OD′的解析式为y=-$\frac{4}{2+m}$x，
∵四边形AOD′B′为矩形，
∴AO⊥OD′，
∴2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，
∴m=6，
∴当m的值为6时，四边形AOD′B′为矩形；

（3）①当y=0时，-x²+4x=0，解得x₁=0，x₂=4．
∴点B坐标为（4，0），
又∵m=6，
∴B′坐标为（10，0），
∴OB′=10；
设矩形AOD′B′的对角线AD′与OB′交于点E，A′D′′与x轴交于点F．．
∵四边形AOD′B′为矩形，
∴AE=OE=B′E=D′E=5，
∴∠OAE=∠AOE，∠EOD′=∠DOE．
∵A′O′∥AO，O′D′′∥OD′，
∴∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，
∴ME=EO′=EP，
∵OE=5，OO′=n，
∴O′E=5-n，
∴ME=EP=5-n．
同理NF=FQ=FB′=5-n．
∵MP∥NQ，
∴四边形MEFN，EPQF为平行四边形．
∴MN∥EF∥PQ，
∴四边形MNQP为平行四边形，
∴当MN=MP时，四边形MNQP为菱形．
∵MN=AA′=n，MP=2O′E=10-2n．
∴n=10-2n．
解得n=$\frac{10}{3}$．
∴当n=$\frac{10}{3}$时，四边形MNQP为菱形；

②过M作MH⊥x轴，垂足为H，过A作AG⊥x轴，垂足为G，
则△MHE∽△AGE，
∴$\frac{MH}{ME}=\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{MH}{5-n}$=$\frac{4}{5}$，
∴MH=$\frac{4}{5}$（5-n），
∴S=2S_□MEFN=2×$\frac{4}{5}$（5-n）-n=-$\frac{8}{5}$n²+8n，
∵S=-$\frac{8}{5}$（n-$\frac{5}{2}$）²+10，∵-$\frac{8}{5}$＜0，
∴当n=$\frac{5}{2}$时，S的值最大，最大值为10．