Question

19．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，AB=3，BC=2，CE=1.5，CF=1，则DH的长为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

Answer 1

分析 延长GE交AB于点M，作DN⊥AG于N．首先求出AG、AH，由ADN∽△GAM，得$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AN}{MG}$=$\frac{DN}{AM}$，求出DN、AN，HN，在Rt△DHN中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：延长GE交AB于点M，作DN⊥AG于N．
∵四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，
∴四边形BFGM是矩形，
∴MG=BF=BC+CF=2+1=3，
∴BM=CE=FG=1.5，
∴AM=AB-BM=1.5，
∴AG=$\sqrt{A{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∵点H为AG的中点，
∴AH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$，
∵AD∥MG，
∴∠DAN=∠AGM，∵∠AND=∠AMG，
∴△ADN∽△GAM，
∴$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AN}{MG}$=$\frac{DN}{AM}$，
∴$\frac{2}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}$=$\frac{AN}{3}$=$\frac{DN}{\frac{3}{2}}$，
∴AN=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，DN=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴HN=AN=AH=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$-$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$=$\frac{1}{20}$$\sqrt{5}$，
∴在Rt△DHN中，DH=$\sqrt{D{N}^{2}+H{N}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{1}{80}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．