Question

4．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，设△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，设△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_n=$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 由三角形的相似性可求得S₂、S₃、S₄的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．

解答 解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B₁，B₂，B₃，…B_n在一条直线上，作出直线B₁B₂．
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等边△，且边长=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理：B_nB_n+1：AC_n=1：n，
∴B_nD_n：D_nC_n=1：n，
∴S_n=$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．