Question

13．已知矩形ABCD的一条边长为5，对角线AC、BD相交于点O，若AO、CO的长是关于x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的两个根，则矩形的面积为5$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质可知：AO=CO，即x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的两根相等，所以△=0，即可把m的值求出，利用勾股定理可求出矩形的另外一边长，再利用矩形的面积计算即可

解答 解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，∠A=90°，
∵AO、CO的长是关于x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的两个根，
∴△=[2（m-1）]²-4×1×（m²+11）=0，
4（m²-2m+1）-4m²-44=0，
-8m+4-44=0，
m=-5，
则原方程为：x²-12x+36=0，
（x-6）²=0，
x₁=x₂=6，
∴AO=CO=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∴S_矩形ABCD=AB×AD=5$\sqrt{11}$，
故答案为：5$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了矩形的性质、根的判别式的运用以及勾股定理、解一元二次方程的方法、矩形的面积公式的运用，题目的综合性很强，难度中等．