Question

2．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF⊥DP，交AB于点E，交CD于点G，交BC的延长线于点F．
（1）求证：DP=PF；
（2）若正方形ABCD的边长为3，且CP=$\sqrt{2}$，求线段AE的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接PB，利用△APB≌△APD推出PB=PD，再证明PB=PF即可解决问题；
（2）作PH⊥CD于H．由△DPH∽△DGP，可得DG=$\frac{P{D}^{2}}{DH}$=$\frac{5}{2}$，推出CG=DC-DG=$\frac{1}{2}$，由CG∥AE，可得$\frac{AE}{CG}$=$\frac{PA}{PC}$=2，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图，连接PB．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠PAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD，
∴PB=PD，∠ADP=∠ABP，
∴∠PBC=∠PDC，'
∵∠DPG=∠GCF=90°，∠DGP=∠CGF，
∴∠GFC=∠GDP，
∴PB=PF，
∴PD=PF．

（2）如图，作PH⊥CD于H．

∵△PCH是等腰直角三角形，PC=$\sqrt{2}$，
∴PH=CH=1，DH=2，DP=$\sqrt{D{H}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠PDH=∠PDG，∠PHD=∠DPG=90°，
∴△DPH∽△DGP，可得DG=$\frac{P{D}^{2}}{DH}$=$\frac{5}{2}$，
∴CG=DC-DG=$\frac{1}{2}$，
∵AC=3$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{2}$，
∴PA=2$\sqrt{2}$，
∵CG∥AE，
∴$\frac{AE}{CG}$=$\frac{PA}{PC}$=2，
∴AE=1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．