Question

13．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当a=17时，b，c的值．

3，4，5	32+42=52
5，12，13，	52+122=132
7，24，25	72+242=252
9，40，41	92+402=412
…	…
17，b，c	172+b2=c2

Answer 1

分析 （1）根据表格找出规律再证明其成立；
（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．

解答 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a²+b²=c²；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
设m为大于1的奇数，将m²拆分为两个连续的整数之和，即m²=n+（n+1），
则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，
证明：∵m²=n+（n+1）（m为大于1的奇数），
∴m²+n²=2n+1+n²=（n+1）²，
∴m，n，（n+1）是一组勾股数；
（2）运用以上结论，当a=17时，
∵17²=289=144+145，
∴b=144，c=145．

点评 本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形．