Question

12．如图，正△ABC内接于半径是2的圆，那么阴影部分的面积是4π-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．

解答 解：如图，点O既是它的外心也是其内心，
∴OB=2，∠1=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴AD=3，BC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$；
而圆的面积=π×2²=4π，
所以阴影部分的面积=4π-3$\sqrt{3}$，
故答案为4π-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式等知识，熟练掌握正三角形的性质，特别是它的外心，内心，重心，垂心重合．记住正三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（1：2：3）是解题的关键．