Question

2．已知，△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形，AB、AC的长分别为1、$\sqrt{2}$，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答 解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E如图所示：
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，
sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°-45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．

点评 本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．