Question

6．如图，在△ABC中，AD、BG、CF交于点E，则$\frac{EF}{CF}$+$\frac{EG}{BG}$+$\frac{ED}{AD}$=1．

Answer 1

分析 过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，如图，根据相似三角形的判定，由ME∥BC可得△FME∽△FBC，根据相似三角形的性质得$\frac{EF}{CF}$=$\frac{ME}{BC}$，同理得到$\frac{EG}{BG}$=$\frac{EN}{BC}$，$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，根据比例性质由$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$得$\frac{ED}{AD}$=$\frac{BC-MN}{BC}$，然后利用等比代换可计算$\frac{EF}{CF}$+$\frac{EG}{BG}$+$\frac{ED}{AD}$的值．

解答 解：过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，如图，
∵ME∥BC，
∴△FME∽△FBC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{ME}{BC}$，
∵EN∥BC，
∴△GEN∽△GBC，
∴$\frac{EG}{BG}$=$\frac{EN}{BC}$，
∵MN∥BC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，
∴$\frac{AD-AE}{AD}$=$\frac{BC-MN}{BC}$，即$\frac{ED}{AD}$=$\frac{BC-MN}{BC}$，
∴$\frac{EF}{CF}$+$\frac{EG}{BG}$+$\frac{ED}{AD}$=$\frac{ME}{BC}$+$\frac{EN}{BC}$+$\frac{BC-MN}{BC}$=$\frac{MN+BC-MN}{BC}$=1．
故答案为1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．