Question

1．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC=45°，∠AGC=60°，则∠ACF的度数为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 首先由重心的性质得$\frac{CG}{GF}$=2，作CE⊥AG于点E，连接EF，易得∠ECG=30°，得GE=GF，∠FGE=120°，那么∠GFE=∠FEG=30°，EF=EC，由∠EFA=45°-30°=15°，∠FAD=∠AGC-∠AFC=15°，得AE=EC，由等腰直角三角形的性质得∠ACE=45°，得∠ACF的度数．

解答 解：∵点G是△ABC的重心，
∴$\frac{CG}{GF}$=2，
作CE⊥AG于点E，连接EF，
∴△CEG是直角三角形，
∵∠EGC=60°，
∴∠ECG=30°，
那么EG=$\frac{1}{2}$CG=GF，
∴GE=GF，
∠FGE=120°，
∴∠GFE=∠FEG=30°，
而∠ECG=30°，
∴EF=EC，
∵∠EFA=45°-30°=15°，
∠FAD=∠AGC-∠AFC=15°，
∴∠FAD=∠EFA，
∴EF=AE，
∴AE=EC，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACF=∠ACE+∠ECF=30°+45°=75°，
故选D．

点评 本题主要考查了重心的性质，含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质等，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．