Question

11．如果是两个全等的等边三角形ABC，平行于BC的线段DE与以点A为圆心的$\widehat{DE}$把△ABC的面积分成相等的两部分，则线段DE的长小于$\widehat{DE}$的长．（填“大于”“小于”或“等于”）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出DE和$\widehat{DE}$的长度进行比较即可．

解答 解：如图1，设等边△ABC的边长为a，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{DE}{BC}$）²，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
如图2，∵△AB是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵$\widehat{DE}$把△ABC的面积分成面积相等的两部分，
∴$\frac{60π•（AD）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
解得：AD²=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{2π}$，
所以$\widehat{DE}$=$\frac{60π\sqrt{\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{2π}}}{180}=\frac{\sqrt{6\sqrt{3}π}}{6}a$，
因为$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，$（\frac{\sqrt{6\sqrt{3}π}}{6}）^{2}=\frac{6\sqrt{3}π}{36}≈0.9$，
所以线段DE的长小于$\widehat{DE}$的长，
故答案为：小于．

点评 此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出DE和$\widehat{DE}$的长度．