Question

9．已知：点D到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且DB=DC．
（1）如图1，若点D在BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（1）中的结论还成立吗？若成立，请简述证明过程．
（3）若点D在△ABC的外部，（1）中的结论仍成立吗？请画图说明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接AD．只要证明Rt△DEB≌Rt△DFC，推出BE=CF，Rt△ADE≌Rt△ADF，推出AE=AF，即可证明．
（2）结论仍然成立．作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接AD．方法类似（1）．
（3）结论仍然成立．作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接AD．方法类似（1）．

解答 （1）证明：如图1中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接AD．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴BE+AE=CF+AF，即AB=AC．
（2）解：结论仍然成立．
理由：如图2中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接AD．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴BE+AE=CF+AF，即AB=AC．

（3）解：3）解：结论不一定成立．如图3中．AB≠AC′

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差定义等知识，解题的关键是利用HL判定两个三角形全等，属于中考常考题型．