Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，AD=3，DE=2，则CD的长是（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 先证明Rt△ACD∽Rt△DAE，根据对应边成比例得出AD：AC=DE：AD，从而得出AC的长，再由勾股定理得出CD即可．

解答 解：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠C，
∴Rt△ACD∽Rt△DAE，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵AD=3，DE=2，
∴$\frac{3}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴AC=$\frac{9}{2}$，
在Rt△ACD中，CD²+AD²=AC²，
∴CD=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握判定三角形相似的方法以及勾股定理是解题的关键．