Question

6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，AB=4$\sqrt{5}$，D是AB的中点，连结DC，E为DC中点，连接AE，延长AE交BC于F，过点C作CG⊥AF，垂足是G，连接DG，则∠DGA=45°，DG=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$，∠ACD=∠BCD=45°，推出点A，C，G，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DGA=∠ACD=45°，过D作DH⊥AF于H，得到△DHG是等腰直角三角形，求得DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{5}$，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，根据三角形的面积公式得到DH=$\frac{AD•DE}{AE}$=2，于是得到结论．

解答 解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$，∠ACD=∠BCD=45°，
∵CG⊥AF，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∴点A，C，G，D四点共圆，
∴∠DGA=∠ACD=45°，
过D作DH⊥AF于H，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∵E为DC中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，
∴DH=$\frac{AD•DE}{AE}$=2，
∴DG=$\sqrt{2}$DH=2$\sqrt{2}$．
故答案为：45°，2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．