Question

19．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．   
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为3，cosB=$\frac{1}{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由OD=OB得到∠ODB=∠B，由CA=CB得到∠A=∠B，则∠ODB=∠A，则可判断OD∥AC，易得BD=AD，即点D是AB的中点；
（2）由于OD∥AC，DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）连结CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，则在Rt△BDC中，利用余弦定义可计算出BD=$\frac{1}{3}$BC=1，所以AD=BD=1，接着在Rt△ADE中，利用余弦定义可计算出AE=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$，然后根据勾股定理可计算出DE的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
而OB=OC，
∴BD=AD，
即点D是AB的中点；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
∵OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：连结CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∵cosB=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴AD=BD=1，
在Rt△ADE中，∵cosA=cosB=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查解直角三角形．