Question

10．已知Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心OA为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠A=∠CBD．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长和cos∠A．

Answer 1

分析 （1）由OA=OD得∠A=∠ODA，再由∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠CBD可得∠ODA+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是根据切线的判定定理可判断BD为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，根据圆周角定理，由AE为直径得到∠ADE=90°，设AD=8t，AO=5t，AE=10t，则利用勾股定理计算出DE=6t，于是利用余弦的定义得到cosA=$\frac{4}{5}$，接着证明△ADE∽△ACB得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，则利用比例性质得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，所以AC=$\frac{4}{3}$BC=$\frac{8}{3}$，然后在△BCD中，利用cos∠CBD=cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BC}{BD}$可计算出BD．

解答 解：（1）BD与⊙O的位置关系为相切．理由如下：
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
而∠A=∠CBD，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AD：AO=8：5，
∴设AD=8t，AO=5t，AE=10t，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6t，
∴cosA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{8t}{10t}$=$\frac{4}{5}$，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{6t}{8t}$=$\frac{3}{4}$，
∴AC=$\frac{4}{3}$BC=$\frac{4}{3}$×2=$\frac{8}{3}$，
∵∠A=∠CBD，
∴cos∠CBD=cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BD=$\frac{5}{4}$BC=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．