Question

6．如图，四边形ABCD和四边形AB′C′D都是菱形，且∠BAD=∠B′AD，连接BB′、CC′，BB′与AD相交于点G．
（1）求证：四边形BB′C′C是矩形；
（2）当菱形ABCD满足什么条件时，四边形BB′C′C是正方形？（直接回答即可，不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据菱形的对边平行且相等即可证明BC∥B'C'，且BC=B'C'，则证明四边形BB′C′C是平行四边形，然后根据△ABB'是等腰三角形，根据三线合一定理即可证明AD⊥BB'，则BB'⊥BC，即可证明；
（2）若四边形BB′C′C是正方形，则△ABB'是等边三角形，即可求得∠BAD的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形AB′C′D都是菱形，
∴BC∥AD，且B'C'∥AD，BC=AD，B'C'=AD，
∴BC∥B'C'，BC=B'C'，
∴四边形BB′C′C是平行四边形．
∵四边形ABCD和四边形AB′C′D都是菱形，
∴AB'=AD，AB=AD，
∴AB'=AB，
又∵∠BAD=∠B′AD，
∴AD⊥BB'，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴BC⊥BB'，
∴平行四边形形BB′C′C是矩形．
（2）解：当∠BAD=30°时，四边形BB′C′C是正方形．
理由：∵BB′C′C是正方形，
∴AB=AB'=BB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠BAB'=60°，
又∵∠BAD=∠B′AD，
∴∠BAD=30°．

点评 本题考查了矩形的判定和等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质证明BC⊥BB'是关键．