Question

9．如图，过反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）和y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的图象之间的点P作两坐标轴的垂线，分别交两坐标轴于点A，B，交两函数图象于点C，E，F，D．若四边形OAPB与四边形CDEF都是正方形，则正方形CDEF的面积为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 设OA=a，由四边形OAPB是正方形，得到PA=PB=a，由于点C在y=$\frac{3}{x}$的图象上，得出C（a，$\frac{3}{a}$），求得AC=$\frac{3}{a}$，PC=a-$\frac{3}{a}$，由于四边形CDEF是正方形，得到PD=PC=a-$\frac{3}{a}$，由于点D在y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的图象上，求得D（$\frac{7}{a}$，a），得到关于a的方程PD=$\frac{7}{a}$-a=a-$\frac{3}{a}$，解得a=$\sqrt{5}$，结论即可得出．

解答 解：设OA=a，
∵四边形OAPB是正方形，
∴PA=PB=a，
∵点C在y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴C（a，$\frac{3}{a}$），
∴AC=$\frac{3}{a}$，
∴PC=a-$\frac{3}{a}$，
∵四边形CDEF是正方形，
∴PD=PC=a-$\frac{3}{a}$，
∵点D在y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的图象上，
∴D（$\frac{7}{a}$，a），
∴PD=$\frac{7}{a}$-a=a-$\frac{3}{a}$，
∴a=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴正方形CDEF的面积=$\frac{1}{2}$×$（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}$=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，正方形面积的求法，正确识别图形是解题的关键．