Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点C是$\widehat{AB}$的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OC=$\sqrt{5}$，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由C是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=$\sqrt{A{B}^{2+}B{F}^{2}}$，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；
（2）解：∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEO=∠FEB}\\{OE=BE}\\{∠COE=∠FBE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2+}B{F}^{2}}$=5，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴$\frac{AB}{BH}=\frac{AF}{BF}$，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}$=2．

点评 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．