Question

13．已知正方形ABCD，探究以下问题：
（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；
（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE=EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若图2中AB=4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x的函数关系式，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CG=$\frac{1}{2}$DF、EG=$\frac{1}{2}$DF，从而得出CG=EG，根据图形翻转的性质可知四边形EGCG′四条边相等，由此证出结论；
（2）连接BG、GM，由FE⊥BC于点E，且BE=EF可知△BEF为等腰直角三角形，结合∠DBC=45°即可得出∠DBF=90°，从而得出BG=$\frac{1}{2}$DF，同理亦可得出MG=$\frac{1}{2}$DF，即BG=MG，由FE⊥BC、FM⊥CD得出四边形EFMC为矩形，即BE=EF=MC，再由角与角间的关系可得出∠GBE=∠GMC，满足三角形的判定定义SAS，证出△GBE≌△GMC，即得出GE=GC结合（1）即可得出四边形EGCG′还是菱形；
（3）过点G′作G′N⊥CE于点N，由△GBE≌△GMC可得出∠BEG=∠MCG，由外角的性质及角与角间的关系可得出∠EGC=∠ECM=90°，结合等腰直角三角形的性质即可用x表示出G′N，由三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCF=90°．
∵G为线段DF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$DF．
∵FE⊥BD，
∴∠FED=90°，
∵G为线段DF的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$DF，
∴CG=EG．
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四边形EGCG′四条边相等，
∴四边形EGCG′是菱形．
（2）（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立．
证明：在图2中，连接BG，GM，如图所示．

∵FE⊥BC于点E，且BE=EF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBE=45°，
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°．
∵G为线段DF的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$DF．
∵FM⊥CD于点M，
∴∠DMF=90°，
∵G为线段DF的中点，
∴MG=$\frac{1}{2}$DF，
∴BG=MG．
∵FE⊥BC，FM⊥CD，
∴四边形EFMC为矩形，
∴EF=CM．
∴BE=EF=MC．
∵BG=GD，MG=GD，
∴∠DBG=∠BDG，∠GMD=∠GDM，
∵∠DBC=∠CDB=45°，
∴∠GBE=∠DBC-∠DBG=45°-∠BDG，∠GMC=∠GDM=∠CBD-∠BDG=45°-∠BDG，
∴∠GBE=∠GMC．
在△GBE和△GMC中，有$\left\{\begin{array}{l}{BG=MG}\\{∠GBE=∠GMC}\\{BE=MC}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△GMC（SAS）．
∴GE=GC．
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四边形EGCG′四条边相等，
∴四边形EGCG′是菱形．
（3）在图2的基础上过点G′作G′N⊥CE于点N，如图3所示．

∵△GBE≌△GMC，
∴∠BEG=∠MCG，
∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，∠MCG=∠MCG+∠ECM，
∴∠EGC=∠ECM=90°．
∴∠EG′C=90°，△EG′C为等腰直角三角形．
∵AB=4，BE=x，
∴EC=BC-BE=4-x，G′N=$\frac{1}{2}$EC=2-$\frac{x}{2}$．
四边形EGCG′的面积S=2×$\frac{1}{2}$EC•G′N=（4-x）（2-$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-4x+8（0＜x＜4）．

点评 本题考查了直角三角形中线的性质、菱形的判定定理、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质、图形的翻转变换以及等腰直角三角形的性质，解题的关键：（1）找出CG=EG；（2）证明△GBE≌△GMC；（3）用含x的代数式表示G′N．本题属于中档题，（1）（3）难度不大；（2）难度不小，再证明GBE≌△GMC时，寻找∠GBE=∠GMC是难点．解决该题型题目时，通过全等三角形的性质寻找边角关系是关键．