已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a.m 为常数.且a≠0)的图象与x轴交于A.B 两点.与y轴交于点C.其顶点为D．(1)求A.B的坐标,(2)过点D作x轴的垂线.垂足为E．若△CBO与△DAE相似.试讨论m与a的关系,(3)在同一平面直角坐标系中.若该二次函数的图象与二次函数y=-a(x-m)2+a(x-m)的图象组合成一个新的图形.这� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）（a、m 为常数，且a≠0）的图象与x轴交于A、B 两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线，垂足为E．若△CBO与△DAE相似（O为坐标原点），试讨论m与a的关系；
（3）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与二次函数y=-a（x-m）²+a（x-m）的图象组合成一个新的图形，这个新图形的对称轴为x=$\frac{2m+1}{2}$．

分析（1）令y=0，直接解方程即可；
（2）根据△CBO与△DAE相似且∠COB=∠DEA=90°，得到$\frac{CO}{DE}$=$\frac{OB}{AE}$或$\frac{CO}{AE}$=$\frac{OB}{DE}$，从而得到m与a的关系；
（3）根据两函数图象只有开口方向不同，对称轴相同可得出结论．

解答解：（1）如图，当y=0时，a（x-m）²-a（x-m）=0，解得，x₁=m，x₂=m+1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m，0），B（m+1，0）．
（2）当x=0时，y=am²+am，
可得，C（0，am²+am），
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-$\frac{2m+1}{2}$）²-$\frac{a}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{2m+1}{2}$，-$\frac{a}{4}$），
∵△CBO与△DAE相似且∠COB=∠DEA=90°，
∴$\frac{CO}{DE}$=$\frac{OB}{AE}$或$\frac{CO}{AE}$=$\frac{OB}{DE}$，
即|$\frac{{am}^{2}+am}{-\frac{a}{4}}$|=|$\frac{m+1}{\frac{2m+1}{2}-m}$|或|$\frac{{am}^{2}+am}{\frac{2m+1}{2}-m}$|=|$\frac{m+1}{-\frac{a}{4}}$|，
解得a²m=±2，且a≠0，m≠-1；或者，当m=±$\frac{1}{2}$时，a可取一切非零实数．
（3）x轴所在直线，x=$\frac{2m+1}{2}$．
故答案为x=$\frac{2m+1}{2}$．