Question

9．如图，函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象与函数y₂=k₂x+b的图象交于A，B两点，已知A点的坐标为（1，4）．
（1）当k₁的值；
（2）当x＜1时，观察图象，比较y₁与y₂的大小；
（3）分别连接OA，OB，当∠1=∠2时，求y₂关于x的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k₁的值；
（2）根据图象和A的坐标即可得出答案；
（3）作AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，根据题意求得B的坐标为（4，1），然后把A、B的坐标代入y₂=k₂x+b，根据待定系数法即可求得解析式．

解答 解：（1）∵函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象过A（1，4），
∴将A点坐标代入函数解析式得：4=$\frac{{k}_{1}}{1}$，
解得k₁=4；

（2）当0＜x＜1时，双曲线在直线的上方，即y₁＞y₂；
当x＜0时，双曲线在直线的下方，即y₁＜y₂；

（3）作AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，
∵函数y₁=$\frac{4}{x}$的图象经过A，B两点，
∴S_△OAC=S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵∠OCA=∠ODB=90°，∠1=∠2，
∴△OAC∽△OBD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{AC}{BD}$=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、B（4，1）代入y₂=k₂x+b得
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+b=4}\\{4{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴y₂关于x的函数表达式为y₂=-x+5．

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及反比例函数比例系数k的几何意义，主要利用了待定系数法求函数解析式．