Question

16．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当x=4时，PQ∥AD；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，设BP=y求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，S关于x的函数关系式为S=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根据函数的性质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．

解答 解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴x=4．
故答案为：4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$．
∵0≤y≤6，
∴0≤$\frac{4x-7}{3}$≤6，
$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$．
（3）S_△BPE=$\frac{1}{2}$•BE•BP=$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{4x-7}{3}$=$\frac{-4{x}^{2}+39x-56}{6}$，
S_△ECQ=$\frac{1}{2}$•CE•CQ=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{4x-7}{3}$）•x=$\frac{-4{x}^{2}+25x}{6}$，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD=24，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24-$\frac{-4{x}^{2}+39x-56}{6}$-$\frac{-4{x}^{2}+25x}{6}$，
整理得：S=$\frac{4{x}^{2}-32x+100}{3}$=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}≤x≤\frac{25}{4}$），
∴当x=4时，S有最小值12，
当x=$\frac{7}{4}$或x=$\frac{25}{4}$时，S有最大值$\frac{75}{4}$．
∴12≤S≤$\frac{75}{4}$．
故答案为：S=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}≤x≤\frac{25}{4}$）．

点评 考查了四边形综合题，解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．