Question

3．【探究函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象与性质】
（1）函数y=x+$\frac{9}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象大致是C；

（3）对于函数y=x+$\frac{9}{x}$，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x＞0
??∴y=x+$\frac{9}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
?∴y≥6．
【拓展运用】
（4）若函数y=$\frac{{{x^2}-5x+9}}{x}$，则y的取值范围是y≤-11或y≥1．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{9}{x}$中x≠0，即可得出函数y=x+$\frac{9}{x}$的自变量x的取值范围；
（2）由x≠0可排除A选项，再由y与x同号，可知函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象在第一、三象限，由此即可得出结论；
（3）根据用配方法求y值的范围的过程补充完整解题过程，即可得出结论；
（4）将y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$变成y=x+$\frac{9}{x}$-5，由（3）的结论可得出y=x+$\frac{9}{x}$中y的取值范围为y≤-6或y≥6，在此基础上减去5即可得出结论．

解答 解：（1）∵在y=x+$\frac{9}{x}$中，x≠0，
∴x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）∵x≠0，
∴A中图象不符合题意；
∵当x＞0时，x+$\frac{9}{x}$＞0，
当x＜0时，x+$\frac{9}{x}$＜0，
∴函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象在第一、三象限，
∴B、D中图象不符合题意，
故选C．
（3）解：∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$，
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²，
=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6，
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6．
故答案为：6；≥6．
（4）y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-5．
由（3）可知：当x＞0时，x+$\frac{9}{x}$≥6；
当x＜0时，x+$\frac{9}{x}$≤-6．
∴y=x+$\frac{9}{x}$-5≥6-5=1，y=x+$\frac{9}{x}$-5≤-6-5=-11．
y的取值范围是y≤-11或y≥1．
故答案为：y≤-11或y≥1．

点评 本题考查了反比例函数的综合题以及分式的性质，解题的关键是：（1）根据分式的分母不为0得出x的取值范围；（2）组合函数的图象；（3）利用配方法求出y值取值范围；（4）不等式的运算．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法求出y=x+$\frac{9}{x}$中y的取值范围是关键．