题目内容
15．小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．（1）若△ABC中，AB=4，∠ABC=60°，∠ACB=45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
（2）拓展运用：
如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．
（注：并简要说明画法）
分析 （1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．由IH∥BC，得$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$列出方程即可解决问题．
（2）利用位似知识，找到圆心M即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．
在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=60°，AB=4，
∴BM=2，AM=2$\sqrt{3}$，
∵∠C=∠MAC=45°，
∴AM=MC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2+2$\sqrt{3}$
∵IH∥BC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$=$\frac{x}{2+2\sqrt{3}}$，
∴x=$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$
∴小明所作的面积最大的正方形的边长为$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$．
（2）如图2中，
①作∠BAC的平分线AQ，
②在AQ上取一点O，作⊙O和AB、AC相切，
③连接AP交⊙O于E、F．
④作PM1∥OE交AQ于M1，
⑤以M1为圆心PM1为半径作⊙M1，
⊙M1即为所求．
同法，作PM2∥OF，交AQ于M2，
⊙M2即为所求．
点评 本题考查位似变换、正方形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
智趣暑假温故知新系列答案
相关题目
如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
4．声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）的关系，如表列出了一组不同气温时的音速．
（1）求出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）当声音在空气中的传播速度为343米/秒，气温多少？
（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地相距多远？
| 气温x （℃） | … | 0 | 5 | 10 | 15 | … |
| 音速y （m/s） | … | 331 | 334 | 337 | 340 | … |
（2）当声音在空气中的传播速度为343米/秒，气温多少？
（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地相距多远？
如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（-2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．