Question

15．如图，二次函数y=-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，连接BC、BD，设∠OCB=α，∠DBC=β，则cos（α-β）的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 延长BD交y轴于P，根据三角形的外角的性质得到∠OPB=α-β，解方程-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3=0，求出点A的坐标和点B的坐标，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线BD的解析式，求出OP的长，根据勾股定理求出PB的长，根据余弦的概念解答即可．

解答 解：延长BD交y轴于P，
∵∠OCB=α，∠DBC=β，
∴∠OPB=α-β，
-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{7}{4}$x+3=0，
解得，x₁=-1.2，x₂=4，
∴点A的坐标为（-1.2，0），点B的坐标为（4，0），
x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为4，
∴点D的坐标为（2，4），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+8，
∴OP=8，
PB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{P}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴cos（α-β）=cos∠OPB=$\frac{OP}{PB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法，正确运用一元二次方程的解法求出抛物线与x轴的交点是解题的关键，解答时，注意三角形的外角的性质的应用．