Question

19．如图，△DEF的顶点分别是△ABC各边的中点，△GHI的顶点分别是△DEF各边的中点，…，依次做下去，记△ABC得周长为P₁，△DEF的周长为P₂，△GHI的周长为P₃，…，已知P₁=1，则P_n等于（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{n+1}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{n+2}}$

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．

解答 解：∵△ABC的周长为1，△DEF的顶点分别是△ABC各边的中点，
∴P₂=$\frac{1}{2}$P₁=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
同理：P₃=$\frac{1}{2}$P₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
…
以此类推，P_n=$\frac{1}{2}$P_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．