Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=10，点D是AB上的一点，将△DBC沿着CD折叠，此时点B与点E重合，连接AE，当D为AB的中点时，AE=$\frac{34}{5}$．

Answer 1

分析 连接EB交CD于点F，根据△BCD的面积等于△ABC的面积的一半求得△BCD的面积，根据面积公式求得BF的长，再在直角△BDF中，利用勾股定理求得DF的长，根据DF是△ABE的中位线即可求得．

解答 解：连接EB交CD于点F．
∵B和E关于CD对称，
∴BE⊥CD，且BF=EF．
在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{21}$×4=4$\sqrt{21}$，
∵D是AB的中点，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$．
∴$\frac{1}{2}$CD•BF=2$\sqrt{21}$，
解得：BF=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$．
∴在直角△BDF中，DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{4\sqrt{21}}{5}）^{2}}$=$\frac{17}{5}$．
∵BF=EF，AD=BD，
∴AE=2DF=2×$\frac{17}{5}$=$\frac{34}{5}$．
故答案为：$\frac{34}{5}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理和翻折变换的性质，根据已知得出BF的长，进而利用勾股定理得出是解题关键．