Question

4．如图，点P（a，b）在第一象限内，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，两条垂线交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点A、B．
（1）分别写出A、B两点的坐标（用a，b，k表示）；
（2）求证：$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$．

Answer 1

分析 （1）根据P（a，b），PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，于是得到A点的纵坐标与P点的纵坐标相同，B点横坐标与P点的横坐标相同，由于A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，即可得到结论；
（2）通过P，A，B点的坐标得到CA=$\frac{k}{b}$，PC=a，PD=b，DB=$\frac{k}{a}$，根据对应线段的比相等得到结论．

解答 （1）解：P（a，b），PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，
∴A点的纵坐标与P点的纵坐标相同，B点横坐标与P点的横坐标相同，
∵A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴A（$\frac{k}{b}$，b），B（a，$\frac{k}{a}$）；

（2）证明：∵P（a，b），A（$\frac{k}{b}$，b），B（a，$\frac{k}{a}$），
∴CA=$\frac{k}{b}$，PC=a，PD=b，DB=$\frac{k}{a}$，
则PA=PC-CA=a-$\frac{k}{b}$，PB=PD-DB=b-$\frac{k}{a}$，∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{a-\frac{k}{b}}{a}$=$\frac{ab-k}{ab}$，$\frac{PB}{PD}$=$\frac{b=\frac{k}{a}}{b}$=$\frac{ab-k}{ab}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，关键是利用P点坐标，点与点的坐标关系，反比例函数的性质表示相关线段的长得到结论．