Question

9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$），∠OAB=90°，点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），P为斜边OB上一个动点，求△PAC的周长的最小值．

Answer 1

分析 如图作点C关于直线OB的对称点F，连接AF与直线OB的交点为点P，此时△PCA周长最小，作FQ⊥y轴垂足为Q，先求出点F坐标，求出线段AF的长即可解决问题．

解答 解：如图作点C关于直线OB的对称点F，连接AF与直线OB的交点为点P，此时△PCA周长最小．作FQ⊥y轴垂足为Q．
∵AB=$\sqrt{3}$，OA=3，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴∠FOC=2∠AOB=60°，∠FOQ=30°，
在RT△FOQ中，∵∠FQO=90°，OF=OC=$\frac{1}{2}$，
∴QF=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{4}$，OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$QF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴点F坐标（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．
∴AF=$\sqrt{（3-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
∴△PCA周长=PC+PA+AC=PF+PA+AC=AF+AC=$\frac{\sqrt{31}}{2}$+$\frac{11}{4}$．
∴△PAC的周长的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$+$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点P的位置，属于中考常考题型．