Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0）与x轴正半轴交于点E，与y轴交于点F，过点A（2a，0）作AB∥y轴，交抛物线于点B，过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）当点A在线段OE上时，求四边形OABC的面积的最大值；
（3）当四边形OABC为正方形时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式可以直接求得抛物线的对称轴，本题得以解决；
（2）根据题意可以分别用含a的代数式表示出OA、AB的长，从而可以表示出四边形OABC的面积，进而可以取得面积的最大值；
（3）根据题意，可知OA=AB，由（2）中的OA与OB，可以求得a的值．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0），
∴对称轴为：x=$-\frac{-\frac{4}{a}}{2×\frac{1}{a}}=2$，
即抛物线的对称轴是x=2；
（2）将x=2a代入抛物线y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0），得y=3a-8，
∴S_{四边形OCBA}=（8-3a）×2a=$-6（a-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{32}{3}$，
∴当a=$\frac{4}{3}$时，四边形OABC的面积求得最大值为$\frac{32}{3}$；
（3）当四边形OABC为正方形时，
2a=8-3a
解得a=$\frac{8}{5}$，
即当四边形OABC为正方形时，a的值是$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．