Question

7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，DC与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：∠BDC=∠A；AB=2BC；AD²=3BC²；其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 要想证明∠BDC=∠A，只要证明三角形ADB和三角形CDO的对应角相等即可；要想证明AB=2BC，只要证明BC等于半径即可；要证明AD²=3BC²只要说明AD、AB、BD之间的关系即可．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠ADB=∠ODC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠DBO=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∠BDC=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BDC=∠A；
∵∠ODC=90°，∠C=30°，
∴OC=2OD，
∴AB=2OC，BC=OA，
∴AB=2BC；
∵∠ADB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BD，AD=$\sqrt{3}BD$，
∴AD²=3BD²，
即AD²=3BC²；
故选D．

点评 本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．