Question

14．已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN=AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求出∠CND=90°，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出CN=AN，根据等腰三角形性质求出∠CNM=45°，根据圆周角定理求出∠CED=90°，∠CDE=∠CNE=45°，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CND=90°，
∴CN⊥AB，
∵BC=AC，
∴BN=AN；

（2）解：CD=$\sqrt{2}$DE，
理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，
∴CN=AN，
∵点M是CA中点，
∴NM平分∠CNA，
∵∠CNA=90°，
∴∠CNM=45°，
∴∠CDE=∠CNE=45°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE=45°=∠CDE，
∴DE=CE，
∵CE²+DE²=CD²，
∴CD=$\sqrt{2}$DE．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．