Question

5．观察下列等式：
第一等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）；
第二等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第三等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第四等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）；
…
问题解决：
（1）按以上规律列出第6个等式：a₆=$\frac{1}{11×13}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）；
（2）若n是正整数，请用含n的代数式表示第n个等式，a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$==$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
（3）求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄+a₂₀₁₅+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）根据给定的等式依次写出第5、6个等式，由此即可得出结论；
（2）分析等式各分母与a_n下标之间的关系，由此即可得出第n个等式；
（3）根据变化规律a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）将代数式进行分解，再运用分式的加、减法即可求出结论．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
∴a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$），a₆=$\frac{1}{11×13}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）．
故答案为：$\frac{1}{11×13}$；$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）．
（2）观察发现等式的分母为（2n-1）（2n+1）、2n-1以及2n+1，
∴a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4029}$-$\frac{1}{4031}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4031}$-$\frac{1}{4033}$），
=$\frac{1}{2}$×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4033}$，
=$\frac{2016}{4033}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类以及分式的加减法，解题的关键是：（1）观察给定等式依次写出第5、6个等式；（2）观察等式找出变化规律a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；（3）根据变化规律a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）将代数式进行分解．