Question

6．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
【建立模型】（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°．试探索AE与AB+DE之间的数量关系．
小明同学提出：在AE上截取AF=AB，可证：△ABC≌△AFC，进一步可证△DCE≌△FCE；聪明的你一定知道AE与AB+DE之间的数量关系为AE=AB+DE．
【延伸探究】（2）如图（2），若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°．求证AB+DE+$\frac{1}{2}$BD=AE．
【拓展应用】（3）如图（3），若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，BD=8，AB=2，DE=8，且∠ACE=135°，则线段AE长度是（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=$\frac{1}{2}$BD，进而得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．

解答 解：（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠ECF=∠ECD}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；

（2）猜想：AE=AB+DE+$\frac{1}{2}$BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=$\frac{1}{2}$BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=$\frac{1}{2}$BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+$\frac{1}{2}$BD．

（3）如图（3），在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=$\frac{1}{2}$BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．
∴FC=$\frac{1}{2}$BD．
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=4$\sqrt{3}\sqrt{3}$．
∵AE=AF+FG+GE，
∴AE=AB+4$\sqrt{2}$+DE．
∵AB=2，DE=8，
∴AE=AF+FG+EG=10+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．