Question

13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，且DF=EF，求证：AF⊥BE．

Answer 1

分析 延长DA至H，使DA=AH，连接HE，证得△ADB∽△AED∽△DEC，进一步证得△BDE∽△HAE，利用两角互余的性质和等量代换求得结论即可．

解答 证明：如图，

延长DA至H，使DA=AH，连接HE，
∵DF=FE，DA=AH，
∴AF∥HE．
∵AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ABD=∠DCE，∠BAD=∠DAE，∠ADB=∠AED=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△AED∽△DEC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DE}{AE}$，
∴∠BDE=∠HAE，
∴△BDE∽△HAE，
∴∠BED=∠HEA，
又∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠AEB+∠HEB=90°，
∴HE⊥BE，
∴AF⊥BE．

点评 此题考查相似三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，正确作出辅助线，证得三角形相似是解决问题的关键．