Question

8．如图，△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，AD•AE=$\frac{1}{4}$AB•AC，求cosA的值．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠ADB=∠AEC=90°，由∠A=∠A，推出△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质得到AD：AE=AB：AC，于是得到AD•AC=AE•AB，由于AD•AE=$\frac{1}{4}$AB•AC，两式相除得$\frac{A{E}^{2}}{A{C}^{2}}$-$\frac{1}{4}$，求得$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到cosA=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴AD：AE=AB：AC，
∴AD•AC=AE•AB，
∵AD•AE=$\frac{1}{4}$AB•AC，
∴$\frac{AD•AE}{AD•AC}=\frac{\frac{1}{4}AB•AC}{AE•AB}$，
∴$\frac{A{E}^{2}}{A{C}^{2}}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosA=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．