Question

18．菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为10．

Answer 1

分析 将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABK，设AB=a．作FH⊥AD于H．首先证明KA=KG=a+4，在RT△AFH中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABK，设AB=a．作FH⊥AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=CE=a，AB∥CD，AD∥BC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCE=∠ABC=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠E=∠EDH=60°，
∵DF=6，
∴DH=$\frac{1}{2}$DF=3，FH=3$\sqrt{3}$，
∵∠AGK=∠DAG=∠DAF+∠FAC，
∵∠DAF=∠KAB，∠FAC=∠BAC，
∴∠KAG=∠KGA，
∴KA=KG=AF=a+4，
在RT△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（a+3）²+（3$\sqrt{3}$）²=（a+4）²，
∴a=10．
故答案为10．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会旋转法添加辅助线，构造全等三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．