Question

2．如图，在等边△ABC中，DB=2，∠DCB=45°，则CD=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥BC于点E，由∠DCB=45°可知△CDE为等腰直角三角形，设DE=a，则CE=a，CD=$\sqrt{2}$a，通过解直角三角形找出线段BE的长度，结合BC=BE+EC=2，即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值，由此即可得出结论．

解答 解：过点D作DE⊥BC于点E，如图所示．

∵DE⊥BC，∠DCE=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
设DE=a，则CE=a，CD=$\sqrt{2}$a．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
在Rt△BDE中，∠B=60°，∠BED=90°，DE=a，
∴BE=DE•cot∠B=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
∵BC=BE+EC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+a=2，即$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$a=2，
解得：a=3-$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{2}$a=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形以及解一元一次方程，解题的关键是求出线段DE的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质找出角的度数，再通过解直角三角形求出边的长度是关键．