Question

7．如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．

Answer 1

分析 因为∠AEC=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为5cm，进而求得OE=2，然后根据含30°角所对的直角边等于斜边的一半求得OF=1cm，根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．

解答 解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，

∵AB=10，
∴AO=OB=OD=5，
∵OE：AE=2：3，
∴OE=2cm．
∵∠AEC=30°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=1（cm）；
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
由垂径定理得：CD=2DF=4$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．