Question

5．如图，PA、PB是⊙O的两条弦，C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，弦CD⊥PA于E，求证：AE=PE+PB．

Answer 1

分析 在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图，由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE．

解答 解：在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图，
∵C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，即 $\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
在△CAF和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAF=∠CBP}\\{AF=BP}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△CBP，
∴CF=CP，
∵弦CD⊥PA于E，
∴EF=EP，
∴AE=AF+EF=PB+PE．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了全等三角形的判定与性质．