Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D，E为$\widehat{CD}$的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AB=3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出$\widehat{DE}=\widehat{CE}$，由圆周角定理得出∠DCE=∠CBE，∠CEF=90°，得出∠AFB=∠EFC=90°-∠DCE，证出∠ABF=∠AFB，即可得出结论；
（2）连接BD，由勾股定理求出AC=5，证明△ABD∽△ACB，得出对应边成比例求出AD=$\frac{9}{5}$，BD=$\frac{12}{5}$，由AF=AB=3，得出CF=AC-AF=2，DF=AF-AD=$\frac{6}{5}$，由勾股定理求出BF，再证明△BDF∽△CEF，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵E为$\widehat{CD}$的中点，
∴$\widehat{DE}=\widehat{CE}$，
∴∠DCE=∠CBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠EFC=90°-∠DCE，
又∵∠ABF=∠ABC-∠CBE=90°-∠CBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF；
（2）解：连接BD，如图所示：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠ADB=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{AD}{3}=\frac{BD}{4}=\frac{3}{5}$，
解得：AD=$\frac{9}{5}$，BD=$\frac{12}{5}$，
∵AF=AB=3，
∴CF=AC-AF=2，DF=AF-AD=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵∠BDF=∠CEF，∠DFB=∠EFC，
∴△BDF∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BF}{CF}$，即$\frac{\frac{12}{5}}{CE}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2}$，
解得：CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．