Question

15．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=AB，E是DC的中点，联结AE、BE，点F、G、H分别是AE、AB、BE的中点，联结GF、GH，求证：四边形GHEF为矩形．

Answer 1

分析 连接EG，根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形GHEF为平行四边形，根据直角三角形的判定定理得到∠AEB=90°，根据矩形的判定定理证明结论．

解答 证明：连接EG，
∵点F、G分别是AE、AB的中点，
∴GF∥BE，
同理，GH∥AE，
∴四边形GHEF为平行四边形，
∵E是DC的中点，G是AB的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），又AD+BC=AB，
∴GE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠AEB=90°，
∴四边形GHEF为矩形．

点评 本题考查的是梯形的性质、矩形的判定和三角形中位线定理以及梯形的中位线定理的应用，掌握矩形的判定定理、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．