Question

18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），继而证得△BEF是正三角形，继而可得当BE⊥AD，即E为AD的中点时，线段EF长最小．

解答 解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE=AD-AE=DE，
又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为$\sqrt{3}$，
∵EF=BE，
∴EF的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．