如图.已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+4与x轴相交于A.B两点.与y轴相交于点C.若已知B点的坐标为B(8.0)(1)求抛物线的解析式及其对称轴．(2)连接AC.BC.试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由．(3)M为抛物线上BC之间的一点.N为线段BC上的一点.若MN∥y轴.求MN的最大值,(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使△ACQ为等腰三角形?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）
（1）求抛物线的解析式及其对称轴．
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．

解答解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4上，
∴-$\frac{1}{4}$×64+8b+4=0，
解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
对称轴为直线x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=3；

（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，则-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
即x²-6x-16=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
∴点A的坐标为（-2，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵MN∥y轴，
∴MN=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4-（-$\frac{1}{2}$x+4），
=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4+$\frac{1}{2}$x-4，
=-$\frac{1}{4}$x²+2x，
=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+4，
∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

（4）由勾股定理得，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
①AC=CQ时，DQ=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+$\sqrt{11}$，
此时点Q₁（3，4+$\sqrt{11}$），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-$\sqrt{11}$，
此时点Q₂（3，4-$\sqrt{11}$），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，
CQ=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AQ=CQ，
此时，点Q₃（3，0），
③当AC=AQ时，∵AC=2$\sqrt{5}$，点A到对称轴的距离为5，2$\sqrt{5}$＜5，
∴这种情形不存在．
综上所述，点Q的坐标为（3，4+$\sqrt{11}$）或（3，4-$\sqrt{11}$）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形．