Question

9．如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，把△ADE绕点A旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△AD'E'．
（1）求证：△ACE'∽△ABD'；
（2）若AB=6，AD：BD=1：2，旋转角为α=60°，求BD'的长．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC知$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，由旋转的性质知AD=AD′、AE=AE′得$\frac{AD′}{AE′}$=$\frac{AB}{AC}$，即可得证；
（2）作D′M⊥AB，由题意得AD=AD′=$\frac{1}{3}$AB=2，解直角三角形分别求得AM=$\frac{1}{2}$AD′=1、D′M=$\sqrt{3}$，即可知BM=5，由勾股定理可得答案．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
由旋转可知△ADE≌△AD′E′，
∴AD=AD′、AE=AE′，
∵$\frac{AD′}{AE′}$=$\frac{AB}{AC}$，
又∵∠BAD′=∠CAE′=α，
∴△ACE′∽△ABD′；

（2）过点D′作D′M⊥AB于点M，

∵AB=6，AD：BD=1：2，
∴AD=AD′=$\frac{1}{3}$AB=2，
在Rt△AD′M中，∵∠D′AB=60°，
∴∠AD′M=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD′=1，
由勾股定理得D′M=$\sqrt{3}$，
在Rt△BD′M中，BM=AB-AM=6-1=5，
∴BD′=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查旋转的性质和相似三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．